Polynôme de Touchard

Les polynômes de Touchard, étudié par Jacques Touchard, aussi appelés polynômes exponentiels^,, ou polynômes de Bell, constituent une suite de polynômes de type polynomial définie par

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}}$,

où ${\displaystyle S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}$est le nombre de Stirling de seconde espèce qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de ${\displaystyle n}$ éléments en ${\displaystyle k}$ sous-ensembles non vides disjoints.

Exemples

Les premiers polynômes de Touchard sont les suivants :

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,&T_{0}(1)&=1\;;\\T_{1}(x)&=x,&T_{1}(1)&=1\;;\\T_{2}(x)&=x^{2} x,&T_{2}(1)&=2\;;\\T_{3}(x)&=x^{3} 3x^{2} x,&T_{3}(1)&=5\;;\\T_{4}(x)&=x^{4} 6x^{3} 7x^{2} x,&T_{4}(1)&=15\;;\\T_{5}(x)&=x^{5} 10x^{4} 25x^{3} 15x^{2} x,&T_{5}(1)&=52.\end{aligned}}}$

Propriétés

• La valeur en 1 du ${\displaystyle n}$-ième polynôme de Touchard est le ${\displaystyle n}$-ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille ${\displaystyle n}$ :

  ${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}$.

• Les polynômes de Touchard peuvent être calculés comme sommes de séries :

  ${\displaystyle T_{n}(x)=\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}}$.

  Cette relation permet d'interpréter ${\displaystyle T_{n}(x)}$ pour ${\displaystyle x}$ positif comme le ${\displaystyle n}$-ième moment ${\displaystyle \mathbb {E} (X^{n})}$ d'une variable aléatoire discrète ${\displaystyle X}$ suivant une loi de Poisson de paramètre ${\displaystyle x}$.

• La suite de polynômes est de type binomial et satisfait aux identités

  ${\displaystyle T_{n}(x y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)T_{n-k}(y)}$.

Ces relations découlent du point précédent. En termes probabilistes, elles proviennent du fait que la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ suit une loi de Poisson de paramètre ${\displaystyle x y}$.

• Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme.

• Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :

  ${\displaystyle T_{n}\left(\mathrm {e} ^{x}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{x}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\;\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{x}}.}$

• Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :

  ${\displaystyle T_{n 1}(x)=x\left(1 {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)T_{n}(x)}$ et ${\displaystyle T_{n 1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)}$.

Pour ${\displaystyle x=1}$, cette dernière relation se réduit à la formule de récurrence usuelle pour les nombres de Bell.

• Avec la notation ${\displaystyle T^{n}(x)=T_{n}(x)}$ empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :

  ${\displaystyle T_{n}(x y)=\left(T(x) T(y)\right)^{n},}$ et ${\displaystyle T_{n 1}(x)=x\left(1 T(x)\right)^{n}.}$

• La série génératrice exponentielle des polynômes de Touchard est :

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{x\left(\mathrm {e} ^{t}-1\right)}}$,

ce qui est la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.

• Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\mathrm {i} \pi }}\oint {\frac {\mathrm {e} ^{x({\mathrm {e} ^{t}}-1)}}{t^{n 1}}}\,\mathrm {d} t}$.

Zéros

Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par :

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}} {\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}} 3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'indice n.

On peut encadrer la mesure de Mahler ${\displaystyle M(T_{n})}$ des polynômes de Touchard comme suit :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle {\left\{{n \atop \Omega _{n}}\right\}}}{\displaystyle {\binom {n}{\Omega _{n}}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n 1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\}}$

où ${\displaystyle \Omega _{n}}$ et ${\displaystyle K_{n}}$ sont les plus petits indices k qui maximisent respectivement ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$ et ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$.

Généralisations

• Les polynômes de Bell complets ${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ peuvent être vus comme une généralisation multivariée des polynômes de Touchard ${\displaystyle T_{n}(x)}$, puisque

  ${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x)}$.

• Les polynômes de Touchard (et par conséquent aussi les nombres de Bell) peuvent être généralisés à des indices fractionnaires en utilisant la partie réelle de l’intégrale donnée plus haut :

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{x{\bigl (}\mathrm {e} ^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Touchard polynomials » (voir la liste des auteurs).

Articles liés

• Polynôme de Bell
• mesure de Mahler
• Formule de Rodrigues

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